ANNEAUX ET ALGÈBRES

ANNEAUX ET ALGÈBRES

Définis par des axiomes qui dégagent les les propriétés usuelles des opérations d’addition et de multiplication dans les ensembles de nombres ou les polynômes, les anneaux constituent le cadre général dans lequel on peut appliquer les règles du calcul algébrique élémentaire. Nous donnerons dans cet article les définitions générales et des exemples. Pour une étude plus détaillée des anneaux qui interviennent en théorie des nombres ou en géométrie algébrique, nous renvoyons à l’intérieur de ce texte à d’autres articles de l’Encylopædia Universalis .

1. Définitions

Anneaux

Un anneau A est un ensemble muni de deux lois de composition internes x , yx + y et x , yxy, appelées addition et multiplication respectivement, qui possèdent les propriétés suivantes:

(c) existence d’un élément, noté 0, tel que, pour tout élément x de A on ait:

(d) existence, pour tout x de A, d’un élément, noté 漣 x, tel que:

(g) bien que cela ne soit pas toujours ainsi dans la littérature, nous supposerons l’existence d’un élément unité pour la multiplication, souvent noté 1, tel que:

Les propriétés (a) à (d) expriment que A est un groupe commutatif pour l’addition.

Dans de nombreux exemples, la multiplication est de plus commutative, c’est-à-dire xy = yx ; un tel anneau est alors dit commutatif. Cependant on ne peut pas se limiter à ce cas, car des anneaux importants dans la pratique, les anneaux de matrices par exemple, ne possèdent pas cette propriété; comme on le verra au début du chapitre, le calcul algébrique dans de tels anneaux réclame quelques précautions. Pour terminer, indiquons qu’un cas particulier très important est constitué par les anneaux commutatifs dans lesquels tout élément non nul est inversible, c’est-à-dire a un inverse pour la multiplication; un tel anneau s’appelle un corps ^{[cf. CORPS]}.

Un sous-ensemble B non vide d’un anneau A est appelé un sous-anneau , s’il contient l’unité multiplicative et x 漣 y et xy pour tout couple d’éléments x et y de B; B est alors un anneau pour les restrictions à B de l’addition et de la multiplication.

Algèbres

Nous introduirons maintenant ici une autre structure qui se rencontre dans de nombreuses questions.

Soit K un corps commutatif. On dira qu’un ensemble E est une K-algèbre , ou une algèbre sur K, si c’est un espace vectoriel sur le corps K muni d’une application, noté ici multiplicativement:

qui est bilinéaire , c’est-à-dire linéaire par rapport à chaque facteur pris séparément:

quels que soient les éléments x, y, z de E et les «scalaires» et 猪 appartenant à K. On peut aussi définir une telle structure lorsque K n’est plus un corps, mais seulement un anneau commutatif.

Si la multiplication est associative, on parle d’algèbre associative ; cependant certains auteurs oublient de le préciser et incluent l’associativité dans la définition d’une algèbre, mais précisent quand il n’y a pas associativité.

Homomorphismes d’anneaux et algèbres

Soient A et B deux anneaux (ou deux algèbres) et f une application de A dans B. Conformément aux définitions générales des morphismes, on dira que f est un homomorphisme d’anneau (ou d’algèbre) si f respecte la structure d’anneau (ou d’algèbre):

(et éventuellement, si A et B sont des algèbres, f (x ) =f (x ) pour tout scalaire) pour des éléments x et y quelconques de A; on impose de plus que l’image par f de l’élément unité de A soit l’élément unité de B. Un cas particulier très important est obtenu lorsque f est une application bijective; l’application inverse est alors aussi un homomorphisme ; on dit que f est un isomorphisme et que A et B sont des anneaux ou des algèbres isomorphes. Du point de vue de la théorie des anneaux, il n’y a pas lieu de distinguer entre eux des anneaux isomorphes.

2. Exemples d’anneaux et algèbres

On rencontrera des anneaux et des algèbres dans un très grand nombre d’articles mathématiques de cette encyclopédie; nous nous contenterons donc ici de choisir quelques exemples, de manière un peu artificielle, dans des domaines variés des mathématiques pour montrer la richesse de ces structures.

Les ensembles de nombres sont des exemples très simples d’anneaux pour les opérations usuelles d’addition et de multiplication: l’ensemble Z des entiers relatifs est un anneau commutatif unitaire et les ensembles Q, R, C, des nombres rationnels, réels et complexes respectivement, sont des corps. Si A est un anneau commutatif, l’ensemble A [X¹, ..., Xⁿ ] des polynômes à n variables à coefficients dans A est un anneau commutatif; si A = K est un corps, alors l’anneau des polynômes à coefficient dans K est une algèbre sur K.

Un exemple fondamental d’algèbre non commutative est constitué par l’algèbre face=F9796 L (E) des endomorphismes d’un espace vectoriel E; si E est de dimension finie n , alors cette algèbre est isomorphe à l’algèbre des matrices carrées d’ordre n , à n lignes et n colonnes (cf. algèbre LINÉAIRE ET MULTILINÉAIRE).

Comme exemple d’algèbre non associative, citons les algèbres de Lie (cf. GROUPES [mathématiques]-Groupes de Lie).

Anneaux de Boole

L’exemple suivant montre le caractère un peu insolite que peuvent présenter certains anneaux. L’ensemble face=F9796 P (E) des parties d’un ensemble donné E est un anneau pour les opérations d’«addition» et de «multiplication» qui à deux sous-ensembles X et Y de E font correspondre les sous-ensembles:

respectivement, en désignant par X et Y les complémentaires de X et Y dans E; l’élément nul est ici l’ensemble vide et l’élément unité est l’ensemble E tout entier. Remarquons que le «produit» de X par lui-même est égal à X car on a X 惡 X = X.

Revenons aux notations usuelles en désignant les éléments d’un anneau par des lettres minuscules. Généralisant la situation précédente, on considère des anneaux, appelés anneaux de Boole , qui possèdent la propriété que le carré de tout élément est égal à cet élément: x ² = xx = x. Il en résulte que, pour tout élément x , on a x + x = 0; en effet, écrivant que le produit de x + x par lui-même est égal à x + x , on obtient:

d’où la conclusion. Ces anneaux sont importants en logique symbolique (algèbre des propositions) et dans la théorie des circuits électroniques (algèbre des circuits).

Anneaux et algèbres de fonctions

Les fonctions réelles d’une variable réelle définies dans un intervalle [a , b ] de la droite réelle constituent une algèbre en convenant que la somme et le produit de deux fonctions ou le produit d’une fonction par un nombre réel sont les fonctions dont les valeurs en chaque point sont respectivement la somme et le produit des valeurs en ce point ou le produit par de la valeur de la fonction en ce point. Si on analyse les propriétés qui ont permis de munir l’ensemble précédent d’une structure d’algèbre, on constate que, de manière générale, on peut munir d’une structure d’anneau ou d’algèbre l’ensemble des applications d’un ensemble quelconque E dans un anneau ou une algèbre respectivement, les valeurs en un point x de E des fonctions somme, produit et éventuellement produit par un scalaire étant données par:

Le procédé précédent permet, bien entendu, de définir des structures d’anneaux ou d’algèbres sur de nombreux ensembles de fonctions contenus dans l’ensemble, considéré ci-dessus, de toutes les fonctions définies dans un ensemble et à valeurs dans un anneau ou une algèbre. Ainsi, les fonctions continues ou différentiables à valeurs réelles définies dans un ouvert du plan constituent des algèbres sur le corps des nombres réels. Il est clair qu’il est possible de multiplier à volonté les exemples de ce type.

Lorsqu’on s’intéresse à l’étude locale des fonctions au voisinage d’un point, on est conduit à introduire des anneaux et algèbres d’un type différent du précédent. Nous prendrons pour exemple l’algèbre des germes de fonctions analytiques à l’origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d’un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d’une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g ) définissent le même germe à l’origine si f et g coïncident sur un voisinage ouvert W de O contenu dans U 惡 V; il est clair que cette relation est une relation d’équivalence; par définition, le germe d’une fonction analytique définie dans un voisinage de O est sa classe d’équivalence pour cette relation. Montrons que cet ensemble des germes peut être muni d’une structure d’algèbre sur le corps des nombres réels ou des nombres complexes. Soient A et B deux germes et un nombre réel ou complexe. Si (U, f ) et (V, g ) définissent les germes A et B respectivement, nous appellerons germe somme, germe produit et germe produit par le scalaire, noté A + B, AB etA respectivement, les germes à l’origine des couples (U 惡 V, f ¹ + g ¹), (U 惡 V, f ¹g ¹), et (U 惡 V,f ¹), où f ¹ et g ¹ désignent les restrictions au voisinage U 惡 V des fonctions f ¹ et g ¹; on vérifie alors facilement que les germes A + B, AB etA sont indépendants des représentants (U, f ) et (V, g ) choisis et que l’ensemble des germes est ainsi muni d’une structure d’algèbre. De manière générale, les anneaux de germes de fonctions différentiables ou analytiques jouent un rôle absolument essentiel dans la théorie des variétés différentiables ou analytiques.

Anneaux de séries

A étant un anneau commutatif, on peut définir de manière purement formelle et algébrique des séries à coefficients dans A; dans le cas où A est le corps des nombres complexes ou des nombres réels, nous ferons jouer un rôle particulier à celles de ces séries, dites convergentes, qui possèdent un rayon de convergence non nul.

On appelle série formelle (à une variable) à coefficients dans un anneau commutatif A une suite infinie d’éléments de A: (a ⁰, a ¹, ..., a ⁿ ,...); une telle série formelle est souvent notée:

notation qu’il faut considérer pour l’instant comme un pur symbole. Définissons la somme et le produit de deux telles séries formelles; on pose, par définition,

où c ^p est la somme finie:

Il est facile maintenant de vérifier, en utilisant les règles du calcul algébrique dans les anneaux (cf. chap. 3), que l’ensemble A [[X]] de ces séries formelles est muni d’une structure d’anneau; si A = K est un corps, cet anneau est une algèbre quand on définit la multiplication scalaire par la formule:

Par récurrence, on peut définir l’anneau des séries formelles à n variables à coefficients dans A; par définition, cet anneau, noté A [[X¹, ..., Xⁿ ]], est égal à l’anneau des séries formelles (à une variable) à coefficients dans l’anneau A [[X¹, ..., X^n-1 ]] des séries formelles à (n 漣 1) variables. Toute série formelle à n variables est définie par la donnée, pour tout système de n entiers p ¹, ..., p ⁿ positifs ou nuls, d’un élément a ^{p 1 ... p n} de l’anneau A et s’écrit symboliquement sous la forme:

Limitons-nous maintenant au cas où A est le corps des nombres réels ou des nombres complexes. La série () est dite convergente si elle a un rayon de convergence non nul, c’est-à-dire s’il existe un nombre réel strictement positif R tel que la famille de nombres positifs:

soit sommable (cela signifie qu’il existe un nombre M qui majore toute somme finie de tels nombres). On montre que si deux séries sont convergentes, alors les séries formelles somme et produit sont aussi des séries convergentes; ainsi les séries convergentes à coefficients dans le corps des réels ou des nombres complexes forment des anneaux, qui sont d’ailleurs aussi des algèbres sur R ou C, notés RX¹, ..., Xⁿ et CX¹, ..., Xⁿ respectivement. L’étude de ces anneaux constitue la partie locale de la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables; ainsi, montrons, pour n = 1 par exemple, que l’anneau CX des séries convergentes à coefficients complexes est isomorphe à l’anneau des germes de fonctions analytiques à l’origine introduit ci-dessus. En effet, toute fonction analytique dans un voisinage de l’origine est développable en série entière convergente et deux telles fonctions définissent le même germe si, et seulement si, elles sont somme d’une même série entière dans un voisinage de l’origine; par ailleurs, la valeur, pour z complexe assez voisin de 0, de la somme des séries «somme» et «produit» est égale respectivement à la somme et au produit des sommes des séries considérées ^{[cf. FONCTIONS ANALYTIQUES]}.

Algèbres de dimension finie

Soit A une algèbre sur un corps K dont l’espace vectoriel sous-jacent soit de dimension finie n et choisissons une base e ¹, ..., e ⁿ de cet espace. On appelle table de multiplication de A la donnée des produits:

(les n ³ éléments a ^ijk de K ainsi définis sont appelés les constantes de structure de l’algèbre A); connaissant la table, on peut calculer le produit de deux éléments quelconques par bilinéarité. On représente souvent la table par un schéma à double entrée. Par exemple, la table de multiplication du corps des nombres complexes considéré comme une algèbre de dimension 2 sur le corps des nombres réels est la suivante:

Réciproquement, soit E un espace vectoriel muni d’une base e ¹, ..., e ⁿ . Si on se donne, pour tout couple i, j d’entiers compris entre 1 et n , des éléments de l’espace E, notés e ⁱ e ^j , on peut prolonger cette loi par bilinéarité à l’espace E tout entier. L’espace E est alors une algèbre associative admettant cette loi pour multiplication si, et seulement si, on a (e ⁱ e ^j ) e ^k = e ⁱ (e ^j e ^k ); remarquons que l’algèbre ainsi construite est commutative si, et seulement si, e ⁱ e ^j = e ^j e ⁱ . Ce qui précède montre l’utilité des tables pour définir des algèbres. Nous allons donner un exemple célèbre de cette situation.

Soit K un corps commutatif; désignons par e, i, j, k la base canonique de l’espace vectoriel K⁴ et choisissons deux éléments p et q de K. On appelle algèbre de quaternions sur K l’algèbre obtenue en considérant sur K⁴ la table de multiplication notée H:

Un cas particulier très important s’obtient en prenant pour K le corps des nombres réels et en choisissant p = q = 漣 1; on obtient ainsi les quaternions proprement dits, introduits par Hamilton. Pour ces quaternions, on peut développer une théorie analogue à celle des nombres complexes: si x = ae + bi + cj + dk est un tel quaternion, on appelle conjugué de x le quaternion 異 = ae 漣 bi 漣 cj 漣 dk ; les règles de calcul montrent alors que:

et par suite tout quaternion non nul x a un inverse :

tel que xx ^-1 = x ^-1x = e . On traduit cette propriété en disant que les quaternions forment un corps non commutatif ; cet exemple des quaternions constitue une situation très privilégiée, car on peut montrer que c’est le seul corps non commutatif de dimension finie sur le corps des nombres réels.

Pour terminer, remarquons que les matrices de la forme:

où a, b, c, d sont des nombres réels quelconques forment une algèbre et que l’application qui, au quaternion ae + bi + cj + dk , fait correspondre la matrice ci-dessus est un isomorphisme car les opérations usuelles sur les matrices correspondent ici aux opérations correspondantes sur les quaternions; ainsi l’algèbre des quaternions est isomorphe à une algèbre de matrices. La recherche d’algèbres de matrices isomorphes à une algèbre donnée est le problème fondamental de la représentation linéaire des algèbres; la situation précédente constitue historiquement le premier exemple d’une telle représentation.

3. Propriétés des anneaux et algèbres

Calcul algébrique dans les anneaux

Les règles du calcul algébrique usuel s’appliquent dans les anneaux moyennant quelques précautions dans le cas non commutatif; par exemple, si x ¹, ..., x ^m , y ¹, ..., y ⁿ sont des éléments d’un anneau A, le produit (x ¹ + ... + x ^m ) (y ¹ + ... + y ⁿ ) est égal à la somme des mn produits x ⁱ y ^j . Mentionnons une importante notation qui montre qu’on peut faire «opérer» l’anneau Z des entiers relatifs sur un anneau A quelconque. Si n est un entier relatif et x un élément de A, on désigne par nx la somme d’une suite de n termes égaux à x si n 礪 0, l’élément 0 si n = 0 et l’opposé de la somme de n = 漣 n termes égaux à 漣 x si n 麗0; il est clair que cette notation possède les propriétés habituelles:

pour m, n dans Z et x, y dans A.

L’exemple des anneaux de Boole montre qu’il peut exister dans certains anneaux des entiers n 礪 0 tels que n 1 = 0; on appelle caractéristique d’un tel anneau le plus petit entier n 礪 0 pour lequel n 1 = 0 et on dit qu’un anneau est de caractéristique nulle si n 1 0 pour tout n 礪 0. Ainsi tout anneau de Boole est de caractéristique 2, alors que l’anneau des entiers relatifs est de caractéristique nulle; de manière générale, tout anneau de caractéristique nulle contient une infinité d’éléments (si n et m sont deux entiers relatifs distincts les éléments n 1 et m 1 sont distincts car (n 漣 m ) 1 0) et par suite tout anneau ne contenant qu’un nombre fini d’éléments est de caractéristique non nulle. Pour terminer avec les notations, indiquons qu’on désigne par x ⁿ , n entier 礪 0, le produit d’une suite de n termes égaux à x ; il est clair que deux telles puissances de x vérifient:

Remarquons que, si x et y sont deux éléments quelconques d’un anneau A, on a:

si x et y commutent: xy = yx , alors on retrouve la formule classique:

Cette situation se généralise aux identités remarquables, qui sont valables si les éléments qui y figurent commutent. Par exemple, on a:

(formule du binôme) si x et y commutent.

Puisque pour n premier tous les coefficients C¹ⁿ , C²ⁿ , C^{n n-1} sont des entiers divisibles par n , il résulte de la formule du binôme que si x et y sont deux éléments qui commutent dans un anneau de caractéristique n premier, on a (x + y )ⁿ = x ⁿ + y ⁿ ; d’autre part, sous les mêmes hypothèses, on a (xy )ⁿ = x ⁿ y ⁿ . Ainsi dans un anneau commutatif de caractéristique n premier l’application x 料 x ⁿ est un homomorphisme d’anneau.

Dans un anneau quelconque, il n’est pas toujours possible de «simplifier par a » une égalité du type ax = ay. Ainsi, dans un anneau de Boole unitaire, on a toujours x ² 漣 x = x (x 漣 1) = 0 et, par suite, le produit de deux éléments non nuls peut être nul; de même, dans l’anneau (de caractéristique nulle) des fonctions à valeurs réelles définies sur l’ensemble réunion de deux ensembles X et Y sans point commun, le produit de deux fonctions l’une nulle sur X et non nulle sur Y et l’autre nulle sur Y et non nulle sur X est nul (cf. chap. 2). De manière générale, on dit qu’un élément x 0 d’un anneau A est un diviseur de zéro (à gauche) s’il existe un élément y 0 tel que xy = 0. Un cas particulier de cette situation est constitué par les éléments non nuls dont une puissance est nulle (ainsi, dans l’anneau des entiers modulo 4, cf. infra , le carré de la classe du nombre 2 est la classe nulle); un tel élément non nul dont une puissance est nulle est appelé un élément nilpotent. Les anneaux commutatifs sans diviseurs de zéro sont dits intègres (on dit aussi qu’un tel anneau est un anneau d’intégrité ); on peut alors «simplifier» par un élément a non nul puisque ax = ay est équivalent à a (x 漣 y ) = 0, qui entraîne x 漣 y = 0.

Idéaux

Soient A et B deux anneaux (ou deux algèbres) et f un homomorphisme d’anneau (ou d’algèbre) de A dans B. L’ensemble N des éléments de A dont l’image par f est l’élément nul de B est appelé le noyau de f ; c’est un sous-groupe additif (ou une sous-algèbre) de A qui possède la propriété supplémentaire suivante: «Pour tout élément x de A et tout élément y de N, les éléments xy et yx appartiennent encore à N.» De manière plus générale, on appelle idéal à gauche d’un anneau (ou d’une algèbre) A tout sous-groupe additif (ou sous-algèbre) 輪 tel que si x et y sont des éléments quelconques de A et 輪 respectivement, xy soit un élément de 輪. On définirait de même les idéaux à droite caractérisés par le fait que yx appartient à 輪 pour y dans 輪 et x dans A. Un ensemble qui, comme le noyau d’un homomorphisme, est à la fois un idéal à droite et un idéal à gauche est appelé un idéal bilatère ; bien entendu, si l’anneau A est commutatif, tous ces types d’idéaux coïncident. Tout anneau contient au moins deux idéaux bilatères particulièrement simples, l’idéal nul contenant seulement l’élément 0 et l’idéal unité constitué par l’anneau tout entier; un idéal distinct de ces deux idéaux est dit propre. On vérifie facilement que si un anneau est un corps, il n’a pas d’idéaux propres. Donnons deux exemples simples d’idéaux propres: dans l’anneau des entiers relatifs, les multiples d’un nombre n forment un idéal, noté (n ) et appelé l’idéal principal engendré par n (cet idéal n’est pas nul si n 0 et est différent de Z si n 梁 1) et on peut montrer que tout idéal est de ce type ^{[cf. ANNEAUX COMMUTATIFS]}; de même, dans un anneau de fonctions, l’ensemble des fonctions qui s’annulent en un point est un idéal.

Indiquons maintenant un procédé souvent utilisé pour construire des idéaux; idéal signifiera ici indifféremment idéal à gauche, à droite ou bilatère, sauf précision complémentaire. On voit facilement que l’intersection d’une famille quelconque d’idéaux, finie ou non, est encore un idéal. On en déduit que si M est une partie quelconque de A, l’intersection des idéaux de A qui contiennent M (il existe au moins un tel idéal, à savoir A tout entier) est un idéal 輪, qui est le plus petit idéal contenant M; on dit alors que M est un système de générateurs de 輪, ou encore que 輪 est engendré par M. Par exemple, l’idéal à gauche engendré par l’ensemble contenant un seul élément a est l’ensemble des éléments de la forme xa lorsque x parcourt A, c’est-à-dire l’ensemble des «multiples à gauche» de a ; de manière générale, l’idéal à gauche engendré par une partie M de A, finie ou non, est identique à l’ensemble des sommes finies x ¹a ¹ + ... + x ⁿ a ⁿ où (a ⁱ ) est une famille finie quelconque d’éléments de M et les x ⁱ des éléments quelconques de A.

Un idéal 輪 A d’un anneau A est dit maximal s’il n’est contenu dans aucun autre idéal propre de A. Déterminons à titre d’exemple les idéaux maximaux de l’anneau Z des entiers relatifs. Admettons ici ^{[cf. ANNEAUX COMMUTATIFS]} que tout idéal de Z est égal à l’ensemble (n ) des multiples d’un élément n ; on voit que l’idéal (n ) contient l’idéal (m ) si et seulement si m lui-même est un multiple de n ; ainsi l’idéal (p ) est maximal si et seulement s’il n’existe pas d’entier n p divisant p et tel que (n ) A, c’est-à-dire n 梁 1; ainsi, dans l’anneau Z, les idéaux maximaux sont formés des multiples des nombres premiers. L’intérêt de la notion d’idéal maximal résulte surtout du théorème suivant, dû à Krull, et dont la démonstration utilise l’axiome du choix: «Dans un anneau, tout idéal à gauche différent de l’anneau tout entier est contenu dans au moins un idéal à gauche maximal.» Nous renvoyons à l’article algèbres NORMÉES pour voir un bel exemple de l’utilité de la notion d’idéal maximal.

L’exemple des germes de fonctions, ou des anneaux de séries, nous montre l’importance des anneaux possédant un unique idéal maximal, qui est alors maximum, c’est-à-dire qui contient tous les idéaux de l’anneau distincts de l’anneau lui-même. Dans le cas de l’anneau des germes de fonctions analytiques à l’origine, les germes dont un représentant (U, f ) s’annule pour z = 0 (il en est alors de même de tous les représentants d’un tel germe) forment manifestement un idéal. Cet idéal contient tout idéal propre: en effet si g est une fonction analytique dans un voisinage de l’origine qui ne s’annule pas pour z = 0, il existe un voisinage U de O dans lequel g (z ) 0 et, par suite, dans lequel h (z ) = 1/g (z ) est analytique; ainsi le germe A, défini par g , a un inverse B dans l’anneau (c’est le germe défini par h ); tout germe C est alors un multiple de A car C = (CB)A et le seul idéal contenant A est donc l’anneau des germes tout entier. On démontre également que tout anneau de séries possède un unique idéal maximal. Les anneaux de ce type, qui peuvent aussi être caractérisés par le fait que l’ensemble des éléments non inversibles est un idéal, sont appelés des anneaux locaux .

Anneau quotient

Les idéaux bilatères d’un anneau (ou d’une algèbre) A jouent un rôle fondamental dans l’étude des relations d’équivalence sur A compatibles avec sa structure d’anneau (ou d’algèbre). De manière précise, toute relation d’équivalence telle qu’on puisse munir l’ensemble quotient d’une structure d’anneau (ou d’algèbre) pour laquelle l’application canonique (qui à un élément fait correspondre sa classe) soit un homomorphisme s’obtient de la façon suivante: il existe un idéal bilatère 輪 tel que deux éléments x et y soient équivalents si et seulement si leur différence x 漣 y appartient à l’idéal 輪. Si X et Y sont deux classes, on définit leur somme, leur produit, et éventuellement leur produit par un scalaire, en choisissant des représentants x et y de X et Y; on vérifie alors (et ici intervient le fait que 輪 est un idéal) que les classes X + Y, XY etX des éléments x + y, xy, et, éventuellementx sont indépendantes des représentants x et y choisis et que l’ensemble quotient est un anneau (ou une algèbre) noté A/ 輪 pour les opérations ainsi définies. A s’appelle l’anneau quotient de A par l’idéal 輪. Il est clair que si A est commutatif, alors l’anneau quotient par un idéal est encore commutatif. Avec ces notions, un idéal 輪 d’un anneau commutatif est maximal si et seulement si l’anneau quotient A/ 輪 est un corps.

Anneau des entiers relatifs modulo n

Nous allons maintenant indiquer un exemple fondamental d’anneau quotient qui montrera que le calcul des congruences dans l’anneau Z des entiers relatifs rentre dans la théorie des anneaux.

Soit n un entier positif et considérons la relation d’équivalence définie par l’idéal (n ) = n Z des multiples de n ; deux entiers x et y sont équivalents pour cette relation d’équivalence si, et seulement si, leur différence est un multiple de n , c’est-à-dire avec la terminologie classique en arithmétique, si x et y sont congrus modulo n (cette relation est notée x 令 y , mod. n ); la classe d’un entier x s’appelle la classe résiduelle de x modulo n. D’après les propriétés du quotient d’un anneau commutatif unitaire par un idéal, l’ensemble Z/n Z des classes résiduelles modulo n est un anneau commutatif unitaire; il en résulte en particulier qu’on peut appliquer aux congruences les règles usuelles du calcul algébrique.

Dans l’anneau Z/n Z, les classes des nombres 0, 1, ..., n 漣 1 sont distinctes car la différence de deux tels nombres est inférieure à n en valeur absolue et par suite ne peut être un multiple de n ; réciproquement, tout nombre entier est égal à un de ces nombres à un multiple de n près. Cela montre que Z/n Z est un anneau fini contenant exactement n éléments qui sont les classes 0, 1, ..., n 漣 1 des nombres 0, 1, ..., n 漣 1. Le tableau ci-joint donne les tables d’addition et de multiplication dans les anneaux Z/2Z, Z/3Z et Z/4Z. On y remarque que Z/2Z est un anneau de Boole, car (face="EU Updot" 懶)² = face="EU Updot" 懶 et (face="EU Updot" 癩)² = face="EU Updot" 癩; réciproquement, on peut montrer que tout anneau de Boole sans diviseur de zéro est isomorphe à l’anneau Z/2Z. Dans l’anneau Z/4Z, l’élément 2 est nilpotent car son carré est nul. L’anneau Z/3Z est un corps, car tout élément non nul a un inverse dans l’anneau. Montrons plus généralement que l’anneau Z/p Z est un corps si, et seulement si, p est un nombre premier. En effet, si p est un nombre entier positif non premier, p est le produit de deux nombres entiers q ¹ et q ² positifs et strictement inférieurs à p ; on a donc face="EU Updot" 懶 = p = q ¹q ² et Z/p Z n’est pas un corps car il contient des diviseurs de zéro. Réciproquement, si p est premier, tout nombre q 礪 0 plus petit que p est premier avec p et par suite il existe des entiers relatifs u et v tels que up + vq = face="EU Updot" 癩 (théorème de Bezout); passant aux classes d’équivalence, on a face="EU Updot" 郎蠟 + face="EU Updot" 郎廊 = face="EU Updot" 郎廊 = 1 et par suite face="EU Updot" 廊 est inversible, d’inverse face="EU Updot" 郎 ; ainsi tout élément non nul de Z/(p ) est inversible et cet anneau est un corps souvent noté F^{p [cf. CORPS]}.

Encyclopédie Universelle. 2012.